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Sobre el enigma del número 9
Enviado por Lorenzza Paz el 11. Mayo 2005 - 18:45.
Hola a todos:
Disculpen si no es el lugar apropiado para mi duda, pero caí aquí al estar navegando, tratando de contestar una pregunta que me planteó mi sobrino, relacionada con el número 9 y he navegado por internet desde anoche sin éxito alguno.
El día de ayer aprendió una adivinanza, la cuál aprendió a hacer, sin embargo, no entiende (ni yo) la lógica del resultado y cómo se obtiene.
Va el ejemplo: "Piensa un número de 3 dígitos y no lo digas en voz alta", (235), "luego invierte ese número" (532), "ahora resta este último al primero y no lo digas en voz alta", (532-235)."ahora dime el último dígito de tu resultado y adivinaré el resto de la cantidad"... "siete"... "bien, el resultado es 297".
Aprendió que siempre, el resultado que se piense tendrá en medio el número "9", y las orillas siempre deberán sumar "9", y entonces podrá adivinar el resultado....
Fue divertido, pero ¿por qué el resultado siempre exacto"?
Además, me preguntó el por qué siempre que se multiplica alguna cantidad x el número 9, la suma de los digitos del resultado, siempre dará 9.
ejemplo: 9x3= 27 (2 + 7 suman 9)
Auxilio, alguien puede asesorarme????
Gracias por su atención
El noventa y nueve
Hola,
Si lo he entendido bien:
1) Escogemos nº de 3 cifras: N1 = A*100 + B*10 + C*1
2) Le damos la vuelta: N2 = C*100 + B*10 + A*1
3) Restamos N1 - N2 = A*100 - A*1 + B*10 - B*10 + C*1 - C*100 = A*99 - C*99 = 99*(A - C)
Ahora bien, A y C son dos dígitos positivos del 0 al 9, por lo que el valor absoluto de (A - C) (en mates: |A - C|) será otro número D del 0 al 9. Por tanto, y si no consideramos el signo (C puede ser mayor que A), existen tan solo 10 posibles resultados de N1 - N2 = 99*(A - C) = 99*D (D del 0 al 9).
Es más, esos valores son:
99*0 = 0
99*1 = 99
99*2 = 198
99*3 = 297
99*4 = 396
99*5 = 495
99*6 = 594
99*7 = 693
99*8 = 792
99*9 = 891
Cómo vemos, dado que multiplicamos por 99 (vamos de 99 en 99) la última cifra va disminuyendo en 1 y nunca se repite (si en lugar de decimal usáramos octal, pasaría lo mismo con el 77), por lo que sabiéndola podemos acudir a la tabla anterior y dar el resultado completo. El último dígito actua como un "dígito de redundancia" (y nos permite "corregir errores": averiguar los otros dos dígitos).
respuesta no muy rigurosamente formal
Quisiera agregar a la excelente respuesta del Sr Nigromante algunas observaciones sobre la implicancias de esta propiedad de estos números sobre el algoritmo de resta.
Primero que nada, hago notar que este sistema no funciona con números capicúa, ejemplo:
343
-343
____
000
Tampoco se sabe el signo del resultado.
Ahora veamos los casos que funcionan:
Para hacer una resta, si el minuendo es menor que el sustraendo, se invierten los roles, y se invierte el signo. Por lo tanto y dadas las condiciones de que no se trata de un número capicúa, siempre es constante que C es menor que A´ según el siguiente ejemplo en el que se supone que ya se hizo la inversión de roles si correspondía:
A B C
-C´B´A´
Por lo tanto, al calcular la columna de las unidades, el digito de unidades del minuendo(C) siempre tendrá que pedir prestada una decena al dígito de las decenas (B).
Los dígitos en la columna de decenas eran iguales (B y B´), pero como el dígito del minuendo (B) prestó una decena a las unidades (C), ahora es menor y tiene que pedir prestada una decena a la centena (A). Entonces, como pide diez pero prestó uno,
y B = B´, B y B´ se anulan y lo único que queda es lo que pidió menos lo que prestó, o sea, 9.
Finalmente, la centena prestó 1.
Ahora entra en juego el tema del signo. Fijate que la centena es A-C´ y las unidades C – A´
Cualquier par de numeros que vos hagas la resta variandoles el rol de minuendo y sustraendo, te da el mismo resultado con distinto signo, pero el valor absoluto es igual, ejemplo:
7-3=4
3-7=-4
O sea que el valor absoluto de A-C´ es igual al valor absoluto de C-A´. Pero C siempre pide prestados diez, y A simpre presta 1. O sea que si tenés dos números iguales, a uno le sumás 10, y a otro le restás 1, la diferencia que te va a quedar es siempre de 9.
Supongamos que llamamos X al valor absoluto de A-C´ que al mismo tiempo es igual al valor absoluto de C-A´, en las unidades siempre tendrás X+10 y en las centenas X-1. De un lado sumás 10 y del otro restás 1, la diferencia es 9. Por eso, si a la diferencia le restás el valor de las unidades, te va a dar el valor de las centenas.
¿dudas? ¿comentarios? No dude en llamar a la Línea directa Panoramix, atiende 24 hs los 365 días del año. Por Kriptópolis, obviamente.
Saludos cordiales...
Por módulos
"Además, me preguntó el por qué siempre que se multiplica alguna cantidad x el número 9, la suma de los digitos del resultado, siempre dará 9."
Aplicando la artimética modular sale enseguida.
Todo número puede expresarse como suma de potencias de 10, (5435 = 5 * 10^3 + 4 * 10^2 + 3 * 10^1 + 5 * 10^0).
Como 10 = 1 (mod 9), en módulo 9 todo número es igual a la suma de sus dígitos.
Por lo tanto, si multiplicamos un número por 9, la suma de sus dígitos nos tiene que dar múltiplo de 9 (no necesariamente 9).
De aqui viene lo de las regla del 3 esa que estudíabamos para ver si un número era divisible por 3.
De ahí la propiedad de que si cogemos un número cualquiera, permutamos sus cifras (en cualquier orden, no solo al revés) y los restamos el uno del otro, nos tiene que quedar un número mútiplo de 9.
Por ejemplo permutamos así, 5435 - 5534 = ((5+4+3+5) - (5+5+3+4))= 0 (mod 9).
Y un número que es cero módulo nueve, es divisible por nueve o igual a cero.
Respecto al ultimo post me he
Respecto al ultimo post me he dado cuenta que es como una multiplicacion de nueve, a la cual se le inserte el 9 entre medio del resultado
9*2 = 18 --> 99*2=198
No soy matematico ni nada por el estilo, mejor dicho todo lo contrario a un matematico por excelencia... por algo estoy haciendo calculo II por 4ta. vez en la U.... pobre de mi... :P
saludos
sobre el 9
hola mi nombre es mari.
no se si se han fijado lo que pasa con el numero 9 en la tabla del 9.
9*1 =9 =9
9*2 =18 =1+8=9
9*3 =27 =2+7=9
9*4 =36 =3+6=9
9*5 =45 =4+5=9
9*6 =54 =5+4=9
9*7 =63 =6+3=9
9*8 =72 =7+2=9
9*9 =81 =8+1=9
9*10=90 =9+0=9
aunque esto no tiene nada que ver con el juego se me hizo interesante compartirlo con ustedes.
Me explican otra vez?
Holaaaaaaaa!!! Hoy mientras estudiaba me di cuenta de lo que pasa con la tabla del 9.. y buscando la respuesta llegue aca...Pero no entiendo esto:
"Como 10 = 1 (mod 9), en módulo 9 todo número es igual a la suma de sus dígitos"
1) Que es modulo 9? Como se cambia de modulo? No entiendo porque 10= 1 (mod 9)
2) Tampoco entiendo de donde sale que en modulo 9 todo numero es igual a la suma de sus digitos.
Por que?
Me pueden volver a explicar?
Gracias!!!!
Ale
Módulo
Hola: si z= y mód(x), x,y,z números enteros positivos, entonces z=y+k*x, con k una constante.
Se suele notar z= k'y
Así, el 11 en módulo 10 es 11=1+1*10=1'1 =1 mod(10) k=1
En mód nueve: 11=2+1*9=1'2 = 2 mod(9) k=1
mod 8: 11=3+1*8=1'3 = 3 mod(8)
etc.
el 30 mod 10: 30=0+ 3*10=3'0 =0 mod(10)
mod 9: 30=3+27=3+3*9=3'3 =3 mod(9)
mod 8: 30=6+24=6+3*8=3'6 =6 mod(8)
Si te fijas, el y es el resto de la división de z entre x.
Cuando uno dice: "dos docenas" lo que hace es decir:
24=0+2*12 =(2'0)=0 mod 12
"una docena y media":
18=6+1*12=(1'6)= 6 mod(12)
"una 'gruesa'"="12 docenas"
12*12=144= 12+0=12´0=0 mod (12)
= 1*144=1 gruesa+0 docenas+0 uni=0 mod(144)
Luego, podrías decir: 24= 2Docenas+0Unidades; 17=1DOC+5UNI. En el fondo, lo que estás haciendo es usar "DOCenas" en vez de "DECenas", como en primaria
Así, tenemos la transformacion de módulo 10 a mód(x).
Y creo que esto contesta la primera y segunda parte de 1)
La tercera parte de 1) es sencilla:
10 = 1+1*9 = 1"novena" + 1 Unidad =(1'1)=1 mod(9)
saludos...
JRBA
Segunda parte
En cuanto a la parte 2):
Tenemos que todos los números en módulo 10 se pueden escribir de la forma:
ABCD=A*10^3+B*10^2+C*10^1+D
Ahora, como 10=1 mód(9), queda:
ABCD=
A*(1)^3 mod(9)
+B*(1)^2 mod(9)
+C*(1)^1 mod(9)
+D
------------
=A+B+C+D mod (9)
Es decir, todos los números, en módulo nueve, son iguales a la suma de sus dígitos.
Q.E.D.
Saludos. JRBA
Qué curioso...
En el libro de El Ocho (de Katherine Neville) hay un párrafo de algo parecido:
Con las manos delante y empezando a contar por el dedo izquierdo de tu mano izquierda, cuenta los dedos de un número al azar del 1 al 9 para multiplicarlo por 9. Ejemplo, el 5.
Contamos desde ese dedo 5 veces, escondiendo el dedo en donde terminemos de contar, ¿qué queda?
4 dedos levantados en la mano izquierda
5 dedos en la derecha
resultado: 45, que es la multiplicación de 5x9
Y se puede practicar con cualquier número del 1 al 9, siempre que sea la tabla del 9.
Saludetes
combinacion extraña
Buenas, mi nombre es guillermo
6+6+6= 18, 8+1=9
6*6*6= 216. 2+1+6=9
tabla del nueve.
es conocido como el numero de la universalidad, pero tambien satanico por otros.
hasta luego
Opinar