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Números “Sombrero”
Por Agustín
Animado por los interesantes juegos matemáticos que han aparecido en Kriptópolis, me atrevo a contaros una batallita de mi juventud: Hace mucho tiempo, tratando de demostrar el último teorema de Fermat –sí, una gilipollez, ya lo sé, pero quién no lo ha intentado alguna vez- me pareció que sería útil encontrar, para un número dado, otro que actuara igual como factor que como exponente. A este tipo de números se me ocurrió llamarles “sombrero”, como metáfora de la ubicación del exponente, y porque me pareció que quedaban bien, traducidos como “hat numbers”.
Ignoro si en la historia de la Matemática alguien ha estudiado esta relación, y no tengo modo de saberlo. Si alguien tiene conocimiento de ello le agradecería que me informara, y yo me disculparé por mi ignorancia. Y si nadie se ha preocupado con anterioridad de este asunto, sirva esta nota para reivindicar mi modesta autoría...
El número sombrero y su cabeza, cumplirán la relación:
a * b = a^b
Diremos que b es el “sombrero” de a
Apliquemos logaritmos
log a + log b = b * log a
log a (b – 1) = log b
log a = log b/(b – 1)
Es decir:
a = b^1/(b – 1)
y
a^(b – 1) = b
Por ejemplo
1 es el sombrero de sí mismo:
1 * 1 = 1^1 o 1^(1 – 1) = 1
2 también es su propio sombrero:
2 * 2 = 2^2 o 2^(2 – 1) = 2
Parece que estos son los únicos casos en los que a y b son enteros.
Otro ejemplo:
4 * 1/2 = 4^1/2
Todas las raíces cuyo radicando es una unidad mayor que el índice, tienen el propio radicando como número sombrero.
a = 3^(1/2) -> b = 3
a = 4^(1/3) -> b =4
etc.
Aquí os pongo una lista de números con su correspondiente sombrero.
a b a * b a^b
12,9154967 0,1 1,29154967 1,29154967
11,8446661 0,11111111 1,31607401 1,31607401
10,7672015 0,125 1,34590019 1,34590019
9,68161288 0,14285714 1,38308755 1,38308755
8,58581449 0,16666667 1,43096908 1,43096908
7,47674391 0,2 1,49534878 1,49534878
6,34960421 0,25 1,58740105 1,58740105
5,19615242 0,33333333 1,73205081 1,73205081
4 0,5 2 2
1 1 1 1
2 2 4 4
1,73205081 3 5,19615242 5,19615242
1,58740105 4 6,34960421 6,34960421
1,49534878 5 7,47674391 7,47674391
1,43096908 6 8,58581449 8,58581449
1,38308755 7 9,68161288 9,68161288
1,34590019 8 10,7672015 10,7672015
1,31607401 9 11,8446661 11,8446661
1,29154967 10 12,9154967 12,9154967
A ver si alguien encuentra alguna propiedad interesante, o alguna utilidad, y nos repartimos las ganancias.
Agustín Sánchez
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... pero me he tirado un ratito haciendo pruebas y no he conseguido sacar ningún resultado. Es evidente que me equivoco en alguno de los pasos o no aplico las formulas de manera correcta. Por lo que entiendo del post tenemos lo siguente:
"""
Es decir:
a = b^1/(b – 1)
y
a^(b – 1) = b
"""
cómo sacas estas formulas no lo acabo de entender, pero tengo mis mates oxidadas completamente. Pero no entiendo el porqué de "b^1"... me parece absurdo.
Aplicando estas fórmulas, por ejemplo para b=1.
a = (b^1)/(b-1) ==> a = (1^1)/(1-1) ==> a = (1)/(0) división entre zero...:S
Probemos con b = 5
a = (b^1)/(b-1) ==> a = (5^1)/(5-1) ==> a = (5)/(4) ==> a = 1.25
Si intentamos comporbar el resultado:
a * b = a ^ b ==> 1.25 * 5 = 1.25 ^ 5... y esta última igualdad es falsa.
Me encantaría que aclarases esto, ya que en el post no acabo de ver.
Saludos!
que el ignorante es el que no sabe que no sabe.
Creo que no es, como tú pones:
a = (b^1)/(b-1)sino a = b^(1/(b - 1)), es decir, raíz "b - 1 ésima" de b. Es problema es que no sé cómo representar las raíces, y opto por los exponentes fraccionarios
Tienes razón en que para el caso de 1, con esa fórmula aparece una indeterminación, pero si pasas el exponente fraccionario al otro miembro, es decir, si elevamos todo a (b - 1), el problema desaparece
a^(b - 1) = b
se cumple para a = b = 1
1^0 = 1
como se cumple la definición
1*1 = 1^1
Igualmente está mal
a = (5^1)/(5-1) ==> a = (5)/(4) ==> a = 1.25pues debe escribirse así:
a = 5^(1/(5 - 1)) = 5^(1/4), o "raíz cuarta de 5", y entonces, b = 5, como puede comprobarse fácilmente, aplicando la definición:
(raíz cuarta de 5) * 5 = (raíz cuarta de 5)^5
Gracias por participar
¡Viva Honduras!
Ahora si lo entiendo! Pero entonces creo que la formula en el post original está mal escrita y debería estar como tu propones en la respuesta:
a = b^(1/(b - 1))
Añadiendo la anotación:
#Para "b" € [-infinito, 0[ U ]0,+infinito] (léase para "b" que pertenezca a menos infinito incluido hasta zero excluido Y desde zero excluido hasta mas infinito incluido.
Saludos!
Aunque b^1/(b - 1) también es correcto, porque la expresión b^1 es trivial, y no se utiliza. Estoy más de acuerdo en la indicación del dominio de la a y el recorrido de la b. En el cero hay una singularidad, porque
0 * b = 0^b = 0
para todo b € R
Lo que ocurre es que es más fácil calcular a para un valor de b, con lo que en la práctica resulta más cómodo tomar b como la variable independiente.
¡Viva Honduras!
sip...
estaba mal escrita pero se entendía.... elevar a 1 tenia poco sentido
Tiene razón inedit00 el caso del uno, porque la indeterminación subiste, ya que 1 es sombrero de todos los reales, incluido él. El caso del cero es distinto, porque todos los reales son sombrero del 0, pero el 0 no es sombrero de nadie.
n * 1 == n^1
0 * n == 0^n
n * 0 /= n^0
¡Viva Honduras!
La verdad es que es curioso, pero, ¿Esta podria ser una forma de hacer mas fuerte a RSA y a la vez hacerlo mas debil?
Por ejemplo si encontrasemos el sombrero de E, solo tendriamos que hacer C = M * Sombrero_de_E mod N no? O me equvico.
Igual para descifrar: M = C * Sombrero_de_D mod N
Saludos :)
Lo que ocurre con los números-sombrero es que cuando aumenta el sombrero disminuye la cabeza, y al revés (ver gráfica en http://sites.google.com/site/mambrilla/numeros-sombrero/Sombrero.JPG?att...) Y que sólo hay un caso en el ambos son enteros (2,2). No sé si servirán para algo.
¡Viva Honduras!