Ataques RSA: Wiener y Boneh-Durfee
Cuando en el mundo aparece un genio, puede reconocérsele por este signo: todos los necios se conjurarán contra él...
Por Alfonso Muñoz
Habitualmente uno tiene que escuchar que la seguridad del algoritmo RSA equivale (computacionalmente) a factorizar el módulo del criptosistema (para entendernos “n=pq”). Esto no es cierto, es más: matemáticamente no está demostrado que la seguridad de RSA equivalga a factorizar, mientras que en otros criptosistema como, por ejemplo, el criptosistema Rabin si está demostrado (lo que no evita, sin embargo, que pueda ser roto por otros caminos).
En este punto me gustaría profundizar un poco más en este tipo de ataques que rompen los algoritmos asimétricos (en nuestro caso RSA) sin necesidad de factorizar el módulo del criptosistema. En concreto, de los famosos ataques de Wiener y Boneh-Durfee...
Los criptoanálisis del tipo Wiener-Boneh contra el criptosistema RSA se basan en la debilidad que supone utilizar exponentes de descifrado pequeños (en otro artículo comentaré cómo es posible utilizar exponentes pequeños y protegerse de este tipo de ataques).
Según la literatura clásica, para conseguir una seguridad adecuada el tamaño del módulo RSA suele elegirse entre 1024 y 4096 bits. Por su parte, los exponentes de cifrado que se suelen recomendar son e = 3 y e = 2^16 +1 = 65537, cuya corta expresión en binario hace que la exponenciación para el cifrado sea muy rápida. Sin embargo, la elección de e determina el tamaño de su inverso, d, por lo que éste debe ser analizado, con objeto de evitar posibles debilidades. (Al ser d inverso de e, o viceversa, si tenemos un exponente e grande tendremos un exponente d pequeño; por el contrario si elegimos e pequeño d será grande, pero tendremos que protegernos de los ataques factibles cuando e es pequeño)
[Ataque Wiener]
Según los estudios publicados por M.J. Wiener si se verifica que:
a) q "es menor que" p y p "es menor que" 2q
b) d "es menor que" 1/3*n^1/4
entonces existe un algoritmo que corre en tiempo polinómico O(log n) y que genera una lista de longitud (log n) de candidatos para d, uno de los cuales es d.
Es decir, si la longitud en bits de “d” es menor que la cuarta parte de la longitud en bits de n, d puede ser determinado en tiempo polinómico, es decir, romper el algoritmo.
[Ataque de Boneh-Durfee]
Poco después se mejoraron estos resultados probándose que RSA es inseguro para:
-> d "menor que" n^0.292
En actualidad, se conjetura que el RSA puede ser roto si d < n^0.5...
Un Saludo.
Lecturas recomendadas:
- D. Boneh and G. Durfee, Cryptanalysis of RSA with private key d less than N 0.292
- D. Boneh, G. Durfee, and Y. Frankel, An attack on RSA given a small fraction of the private key bits, Proceedings of Asiacrypt'98
- D. Boneh and R. Venkatesan, Breaking RSA may not be equivalent to factoring, Proceedings of Eurocrypt'98
- 3029 lecturas
Twitter
Un N=p*q de 35205 dïgitos
El físico,David Broadhurst;ha encontrado un número N producto de 2 primos de similar magnitud,de 35205 dígitos decimales.
http://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind0503&L=nmbrthry&P=1303
Demostrar la primarilidad de primos de unos 17600 dígitos requiere actualmente unos 3 años o más.
David lo ha conseguido por métodos indirectos extremadamente más rápidos.
Un magnífico ejemplo de número tipo RSA, pero a lo bestia.
En los próximos meses,de no abandonar el proyecto,encontraría un semi-primo (N=p*q) de 100000 dígitos o más absolutamente imposible de factorizar actualmente.
Esto no quita,como tú dices, que el ataque pudiera venir por el flanco más débil.
Por diversión y porque pienso que el servidor de Kriptópolis no estará escaso de espacio en disco, adjunto aquí este número "tipo" RSA
(ya que no proviene de ellos).
N=
368087513423746900440896198107820484137181485148527829583599
993370142271370176042910166223797981434205731951224972583121
665982026861924752381582363936301994629510660234918215203420
178970138569523653629253627012724718280834875760423502081350
965065606059806491363825358770627847424421040071613940292820
815822551812219979671033021319227520357459366827031744352466
787239947753575173123821570248528888748514857369301494402283
619021345063245028672753011024771165196577510615406444720072
813736451190025838813294828923592528874026380199361198472191
025124589531480475418907119968358110829492390940041840172369
264045045900889646858146172255339677499437401894505883516666
238463342860411684463640798003008558007733047604534584082541
139762865890902062418806952595130343815709557827102698783019
120929196337849825098017135324257370413158895929050450898170
293205263327584130766296535739081893955381258586190648142786
371937849695576292179535823982380856011742904516405262839477
639368919057964563153682640298364300366626297064799880240486
825219651856847620886373316372836802936890427847616712870350
430835032079695322266222948822601440831561275761118482861785
664297348371822830229738240174542653501437111270122294095460
089832404265632017194257040082635004351232248711560269700408
956298981526863477476653732103813833447013952101218020240465
142680484271325447911965103796717134575440313130248816819633
678060017886707749887976586471931664202833697546910737811364
061685916826707520885490845375789912010297883331140827040728
074504439225600866688411847464715874109285676407370067218137
949066213436321840242656775795546447046360891049099016267414
331874850757627362916495148835605550331072488297815244402411
513379613571312650381993102230694645641396269762035013204571
447048337002673469978005046956552503822588444885890041739419
179921231750504789661313572105954139459905864750139565937700
945060772712437636386653394616222851206866873021438439435186
260972199979628268717370020997434030948581489270634705491178
740658412457568770498021504668738158180006059419724373455487
049551914601177938918449369118473620285276643112004489294906
419347714723624292217725856235905417889616100080596287282438
861606132051078004151279080767904248102043430279696677329748
792908589174115139943568165308293742214030537723629331887823
339749406304047331252420295580008313162862663214806144745726
311862814662196300362370740036595598880247014163480397976408
176978785890299038397646620465502049788562231442127163887119
019225369785133437519960529524572691490084462537019790368704
212225675240582109980717044293441634051957012586747934231302
592784081271750157860172721983085849399010461868306051716141
453292089054677694912652210197274993533378455385290678987685
257728666333863490343730446514670385399237763648888712068146
850943234018392173754739228354259243204765313894462181147505
554639667600223084364307334903546824278666327490782497321385
852326104556300637702141420651123621065401814035316435049649
958981514251984559340018331980590540607760290518155873570887
097397726267555435092411308853001221355992885766450816166274
796113197297103379923595573291127063013813365629379309201536
747554011896143128619611138086583510372525817433359515208039
440372873740040163540355116255843172308196288025811534376645
006245410975072491348981771951999197379240478821761000564413
183264952212778227177160766794276861952415387935190210453870
192287210409769610451693762841361942807786580059554355167908
687924759729706399427604737461973956682808346787035463207841
090205255612168402080354090147897249691354455340845180476251
258999778445999330799114347018660661543777883805830051579245
252284393877193984778864507198107267406807077079972019906455
475947908028017042581051824386427401932423832039348637715814
918936804398414481708076435996351119029100355509873632039341
957622230498135097991750942106806162943634333681369544381084
481744753467810523911451843715704001183033530095892544922358
701296276345601782946706328076269294622216553281013084152098
641465224491843801510527422963152165626167831371899566857360
672443015624319856052743076939987088543404603066927806350277
840084687858613202274469510589214263857194252952433527043947
251282278829642357882591319438505967220239721075054879559170
927267474664258203879676944807868213973663234179940543055372
544334053033028397090478892034076874239044494445012717491439
559380274739022946445314457470435995767547560444345093080597
096087597712858547172196042190561875448167821848694953140538
139458330838069634931732174755281543775106785995456698220579
390689930375671055929295848603674850550926366859138439573369
112231310160756198857327388240935729641732963056206879978793
818685783621229507331088125877741468069512156424238394670058
304671531400442897174218912975358161697424720870686108166139
145908656000123751118511958630142522540725647789693248440208
899644311023132067983492071870177663008776247937653178463746
090275341267342481241562595024298735938022054667671189739540
928267227555796531977608444754181490114193311300655131418363
867520635912085891220031250101885316969453165877913574637268
037722628668808696189773623629900232271189910856208025153851
240965024182431886423955146843680219608530935318051718757700
328414310692879654796246226908472550149916024978071605356311
547393700878627598115747447159181751149286399397168112958215
167171747076051737101898091470366404835918495504776556829996
674590053718904462573848006997421207818775457556744664050772
903928136367140142824948986952924988756424683162199507341682
684139029808242842869429697226426074538846220904927005526726
449299886139063269683731188348030009709625803673190103683898
838837696972789636695513983904199114562935964197410707236704
590143655641106349990241426086389155219709791864080470435670
803188931245521015798930942299814759141567833906967110071833
860975670471738785993583336345113341103246480990656022910033
552837722814249889883235650116172119198903255170502972958342
903656717964622402932783666553201264871379808792867954516647
112955150027232113348120730479991822609266582089136952127307
807464110707130769266811029704163298338555611008337218111234
169668980868791462062150537384768715410337796703112343277622
283387878810340306214595744920415137667471422836729646004834
133911201160554644820493022911889472520352339256805613810352
837336345712483066138608190493999671700456966905570724843706
521796756022340695518725303860493764653640802361226850899708
001142367000093874215149822063416057358617270140829429592475
454370339874173697423438697620712276369711367563282762176351
870545621331078854099396177188428169639993519632535109682600
016442404277395591048991122824786098224737861421763448642789
063725383930661223803330222029813214931572354326960170009264
627263470328445063120859971215217018098802016147891999938288
666052582271432183138649631196024066328004866047247904071271
735955165442247762370280288461704823914923671769021117395125
897219962093196561848565100924592324431611348881430243280639
657183237113129065756902653640589189764474744340465590578416
594401805404770114822931877770902895149095944858717666759295
681132969676474762220079111646378955898322465670387600997670
529322926445717298321347959236395397099567877064679351305181
611405120815034526649237255071196323931584344339323684307788
576242451851575365207990541404179701282254499436391589456368
545587701759213256692244379311218186833047807359275767283921
145041825821303416403649533503464450929660040930725299067397
141556431623702764854722712721659279760035129096310018326147
199891968719843115173670877164297946635217468098415711403615
982583241655201106272737196967924402873601929801878356495850
065241335375295414868145437407315293823327640853640707494427
653034133910166979466562265657784946346342740310048934639759
782940238713710877595043458768566238897475992024887817998142
718298523669928059855850869418483916519009614297533762247246
936495249616998299251412334876155491323240207905173703332785
139036968102318281919801430160717475288064922182640770162393
319432325307602195008810459831775377685628873056489324669531
431119578051485958958868055622507317210085039090937916469001
301309762384207321504255138802201280557317782597211347689148
721349683604254524187414238561866099016491635667861396571946
763437961658532703173453174149026270925840847303317167203735
317432462697451081292968218556719718224460075755594269269311
617290770535300039173690651811309186262807022530113262068254
844767130431810175688793007475881780739001999322699626314756
641780727748182323294661463786677277459420270731949293588685
501574047841049720124336964244052960405566998725236574627092
622810526442781368223827987591981342039737578915158005380885
188512289761999019648300094313870301873325045860634564791387
697693237136200128019196161403790654934410878154455490576937
331662188695595860057936795747110222819574027602258303544822
197402190974919141599445545302978627321241500805027818402906
558774562548395415603219518798699246029297557619510697357631
349786802653641178988260664946206666069600840757677428401337
155040202628495666536782196569285911251289391576862100129098
488204307713985906221250267772577292345439938198677586599562
060850590801335264962391721387851013883819830796963585786753
752013367965475708877113187272321809008245304581666420056333
998410971475772459283820233424275968542733638277443500312372
615371579147456284470979170391419899586161063002393457965689
214107100343008197547938253789951196960281321560784163727306
177391544482068300483011685444499988052564388636075052688795
118117426080589867303108687709908954413609990664553549222423
543484560308461077713173752708766625568975444066123684336240
675874358743155699056959088999187348573762496914317984890867
269618549996178305066887203400190357771908577577238490857686
005904753030008242133995838126711568263919679055730547238462
905589547255358955187212699028829536408898659208052727756884
656917392703777456803764280489564680774870005565437934300775
606582215864551003043777370942616201371559423769607123696116
151498198872096883152746588595937963876843988277805773051911
081996151957802525372136155574522198539617007045942770889612
784644554443023254004239558233475763354326691679980272086912
279452375545287706251388421928418240767405488834304856513180
961324542900450981702474866812939482554462310038361735539976
124168690917217008046813826984806966145689410469785332189029
975932536559700891395389469008211796441333164925015742466822
656440336890413753982464684827807055387711364388034003970202
459080336142496964153488415379152593109300630409750739652241
552647193792248233348258652224069774561699188816963848755808
461087391955336920135394230840196358527489176259941504435691
643859137070892481861172874809529520851967647787498349964058
083039971879916900913920325840484583917558208421062739954485
711456670598926279613620124389972093656159543656119778982176
294692022977106524552913259860574960669982342264120913072099
094983569501010120142679417576339650104959991631286450257702
021302115568942393655339414038569490316952706900429300107458
016616512121530965496806037151815773785552467515273679954992
746717616662383470205775823330591726227576640811664269627185
639842733062259342594860860853702600681074513296545936234678
579737801854828829995779708845225841791659840013300444080256
606601060641179980485026109609394769187206374576674234221766
496500075737459118154849564588388451586241599521851230047652
268422478385382123741091926251236634231879834178474066132480
795064685982221106127616863978724733955865994090580254733754
891860253096738485887398598271828294339292028904919308509556
556480933292171400337461013945215760188307641317845474470790
242969857900330097962593002639266052919091762030009312952419
554195414395015876889081050451719837434935482583979023432428
226210956764225638214145870880986276531582732533564140249670
524501805407280101240899968453414337117606627579710112888006
747079958646864786733065448539137398829933690408325221918892
651255044680184675253127309626082377233082452795033693160742
888096897663809749205916214694848967521248620110403751811497
601088689700122287294491463492779304927141370598681754272626
368290581412707719133530466117043336527218809173978757473157
689213052110364477304920124074727927409168502733372048451354
971781084455229777365063667384635827024011639131099764624604
247886564859546754422475417984610819938635355013705026786775
125896254584206183472387249181284076005917022071719586847327
659123522370921957057179539195290357978732457553101380185904
497485495449353592888896473097864039752576874850203537862875
111282324165388661978474945979538328256325004470929526302985
608776954258402526545225031967946788854541245827026304204228
690261856480043512895046919882099741752119630265618023378522
125539436413642753678658680012121866358422421483024000164879
393257355053179142345234356059970290631432224090211555440792
359150273940500686987714940205217205462084484573238025374889
718245734370012011228298023795871073614480639992772096452998
709930281719603676810358353399313249947396674290757350353863
534688034810823467721914136231577415965298224760033731091814
167347752120483442557513382706144782259381540302125805182941
916778168927367316364851469619360821516662772831944942613903
088117701178410855795998236557413015909677219592614560921189
015423414662589409177880315412045364770436417355842973548042
643800446203445975526180733832909896089449163010101506981561
219878572330172772323489849174398031122341165765977018675261
677641042000377705569367754589732578599775065456553718543250
026862603404039834123629514024927643257308830971227453730932
111739893505040729763683218120790315131926550515768178927529
860417033402658153228607741943724674911760732630403485459885
450648626348085980781222212826417803556882081540520447275982
652499449206743829104968774125105472308544603995589360206918
750368526906964482425411564922411947757661680136672708561366
421089563362717918439520042775009015257770522238987613267060
059041992644404948168856394222504204180449090852731623450328
840405383394823950038040894921158587453434793986950012992950
659941912875397118508194618526704360584795421971249205004880
237209454068717512737616055714678697131282477590817842333108
691994684110465031807074628773410342519757136501410817947051
656398436435815875742445608610833795102675961254473583932299
627660589735515150573955089030849625552096369048303402335077
886783594955406572304708644652345742481542036800397815895254
327326160493886282900988932273137631009068706628587753167626
805685986982617495535881533769798238687480885293541273225659
738069470530281952971555793040409626832428814842634235321810
562335549776974981910401817832502069486041868084759638126607
589299534279685501625631088269707327351840093920962004591185
937940606519674217147157269335535550742849847244132865166956
761754856273354014134397399743985603890619460072915868569530
789804326781979758284209937662019569204730940725584301153763
817972764765453915557890434592590403915857633061195474771710
756486478342868173917452757252359934214652367557199989813083
098417704884546256482433510197012002079405709446316234205991
474829423607151023534985085115967107176517436212487933814783
756973783903606933638926351112839128987278716098332269206520
168715575464791802044048761215696735693583972982136128050847
958689104518218888005215833822910985886977518872077807414234
493354308516005754102765440361695902953583187024590595217600
243656506385789294417654378671511724857022920604222605621854
942522459116333828387919275197368856163979989512885047982973
031128436237816030512941806463610033683658990650209606087102
030802250403084408289508451904593816704838633583108118115194
025109071030102451470044637492948143010948447454951523265257
453353408372211819764348771784900673230138391750905630303182
200023602828209402406068139568539182539362334402472032737468
320682615817462955519580351518264770197938174685030134284480
552245909155353557372791970361106968646730166806814488161982
405839387632397748186583755744488190115352023592883207592828
036964792512226780175808451774137489912990095435563227513102
608850165160285856956448055270705168732677786754180163127369
920602712727709951889837800927975568235851431495810889470134
710944206975954584533918668416406868445246429819570007643174
121381860109470302783042204307067419101084814844841972219123
625866713232301770914482997715552112639363175135809744061256
528175023433182841242961593785795474224921522903964945996367
895853213991963100224562458447305618413853533122873473522225
774405381681994513416788919121758779697764352714293854085957
468888821039073173637086878162135930614925621502675613948207
298967604131747542911337121902796743254443875572612734676057
366926444999954691526522848911401705046325023409301652653173
476520582619926284826924476596753358857032150225579938072146
726263584043727304136708036132306564331540899492748125833914
437057848693239515872616662834276848753666071622415865277962
309738131136078406866814339302864068249403903222908492357998
791175122132872097006606647673994937071210873487280224274994
784281347991901392730579348278868522028520657692621085159182
480724776942712684569736039504410917841188632605771578514167
316956983649672668357352201679800685421265966451908510480313
625764349378415876864206832034132944570789981765800833865915
100479810872602338135901617857087580033271765093997604102413
117286861474980233085502036742119707215848618485398147101355
502160583881375716638857213783214393844491019570205617482132
235444836644483684540663045957124592382640503412717164978000
045218265602417973353356842708150018585284397790954861222803
348561361884064547390770530683988759026340599902555589917183
512762244476992338241337000790861063002503374681431294017844
743592502377718608190163115711682456716475914015941367870420
485569252825567532078098478362085539333238823569475527302958
927487387944340649237636611061582987030510730016375723660229
958444362940182779033618033336329766146509997844180073506852
448918306714676761333245919466615132359575349551806012106785
876618112673794260255187587597437993953155894429782335563154
741936641962493382442773952535452294771215749461086215032935
022091292694613185804778656224482594217515485490243606457271
457852656738237177210210342182291870937856897337662501078730
887652083268791809920283291693304431718485496352356378006848
558999319649432866773529801291792088515276068087328343952161
869535747543731514884845245406194599995178716468270772529556
881892740347575529164357903923750088414619567743083068704126
765782606364225921210705999228143542145877056405062701054360
089888777829103100695464256570353574009687669840336366284739
375121819410067059579701725022014577321593776964585243012485
126189156866252442441686285932529265470422333490025922703925
823293793244811108427154017628196231692998332258934029363671
653356485989367967710245876828656294375687517309122111870133
022436003968914271179832495406317085827525458319877896562133
769736352769354576666249869158599108417727069448282363943153
347556826906520523724098990933236901436943729605597810148190
660077980198463298824999866199430488879180231452214110838532
348463888929903377714747068399410555426718230486691249792845
207002804973193181305440577768049172323447381976843069247217
959057710330044582134209924320130640710811294079284795551984
797015986219704254254646450314145731352055978258562289469604
651187390446969474840426564209224394241971028365946593555596
666543571024698401338007946529162278606465495075114615540249
662192842260358681355560954160902523430350575348692603089297
615305589754315813398433718059666038024974311496609490776872
380356462950574404908230394919393632360896409699570270413185
317292481709132168010334665842549101330793148692307026908443
430708498084933956472035204965808706814922764735761033556398
186335334894640749070552763861688018388571515133826711226209
030044468341067371338483633501718989383241760782171999393881
911228241936987979227082227121274344816967498152224377329839
455404344140102100191653214799192737303929439412884397669091
733455117702636871897033361743980662332861051837209464900515
543256680857992604803375294563819412727077535172044143167406
658296350107089659716057190295342388210187933658037981504036
285142327593728429250367206651881171266677015770206691061048
322912316672834147357096850960732600997896856822449484941185
619538221534380819210560744626156544666762584936788710029770
054729584022840952357418516362343301060785389903209377858009
513796481052703112717212260743023783872341431796355726731149
840402491124978048765615920657941961988118621775036111976496
701530007264520086176103370392698749856555748330127746685247
235325899513373199663897016593548357334361418163635215727300
134221205920974248893561777540592512716079556784957282853792
478194204085718525739093076215749357496422178010898478167119
656479437296199991863613345844050522282895984991919033429841
496205167086489683202807160847758751540904695603175166057486
554729952270935708848920002092912388530369413029838903750761
578876652495430923330701206146815983444976482860732427258550
596812555513910032732999417471577581357074620671800415263809
481502297380906801637727512283828735053308512058778123813491
678910396382839804855663185419935238312767315526441509864374
769383639680640082501679730315767744177518749727995340621680
701686026444516190614539483975278491363403019868866655702399
121119670455852051718549840285811871304742278003504455469476
941347869063901561097436306551785177391858080561807692861773
583714508235006123712990505398791294027316913372983919305957
764976397838792013442432039601209420328447839492721901886221
062354360194963973640492468611728393458259360308389673783745
965081197567442820689478036187839039401220542363869464278449
143447514333799777761210442705931551950989853695576464453198
939643168598590242063527420706052380068737166706879309065976
815993760737705735992013560830182850472829386223084760627159
934636458334643704758681310638188873144701428056580370475603
924481986443093217436865924385738576758721228883838647598556
938829672106216741724227339237499417484929659167316273041050
144921588421077098710022607137246370259084227534337133817002
978715153513447910344930469516201529656956029750995540034043
716628684820721125507759538905417130933573770847661341771878
512611268269977055334302974752064163164757169049354136792027
626298446908445672042780350606596003918814331616285986017119
434464038410179593930658976350355623346053416780849961914502
939721869862910537787225392963098489513797353505325841721835
385161532994671978404973301381990295568794175838890443042939
480891413147868433627866840031075034217631745522276581404159
744848802116613145862723180641686363487894716613703326920644
337886951566312625995651166982861001636150552170486277676090
401521116618065920923811511697585378598517251871905072927998
069021737226373898200988879668060051274740960275542401063864
991113283376083095617508212516929687839813723526271249089936
927588565573861917062452437835503158438730728880369823109260
626507824899850238027238514654682724980346224743132618564034
311729730310769897912424138201563382538543829399443303527330
177228059768282225669073639921509703799912681853921535214580
091272060158544300642998472781693980038913279889166972118365
045612914227738264250960275131420170766113061898338457394150
229335931417149402110083717720975377401029585897548667047609
602260084940890272000040663081107646617223652278126836964835
395158000571475255575688648363396985418818073828149577074145
855226710444159277588680317197268908841758311161729533542119
009369432727073945337396445045001882514932288289351853000962
825688486895713084309660022723249129403734488325905283194978
292243027596454898968207705020847817850214162029889473200413
974977145603148002082866199881072564819544508872094556366233
829189649115950524898718927910203416827506741077437499956515
221865237571040661163803778514865701924984837429460508039277
002956245170321363813212974237757010754832382313292458492694
982417073070976703559535441892287439594747890514859163021745
900933259900836332601972340335133742563618008710218189489463
525939397377649381450718130255861645886490932861602135211173
466570942585280378726410158931000794777226524738857502136029
212346788551692317880836625172978913699579641159347124185118
969608785750284414292255736205700822483446868211845162157071
147635617157883470121107224716290989662146175109170733543495
246081170175251766452371921231085992226312440383447555802082
020466961111893112245715929327151587629679770409431835211732
770224993669461310352159555454367252959600458058850169889766
277521109835442638820800455177219608937558125858162672690309
861623260889302732619308357664874420025288360823225214950270
878794496374785475223969680335750858145738562031093167326887
841824772600994189063900936618214997195158087714548410125748
928837769689812397989274863576391610321516686288849652622061
984595698672951061902226923779700672713426620198181519984603
390044615841897336922521218145336109318266754890840102321337
436965410471908023603168868511666090000785114422090787610270
859905765669899632233208464543358988251949967828954719669102
693898183169874338632759032361626219055555922618696373857257
933179355923206327758753241671907172661457613419559226937748
462988033493470962865286914920350131655598174333555599356622
383364627014135027964447399069773133227300942037914478582353
440450217889609834248976400795930029031327952536764603958719
477862624093974506043120102428609743540041603028524663294655
135341025339367894994715386119481299672871973101238478577693
897704068191880170119034862471581750583049494856549280049656
197110985096589065592753835956686411070362940343226293834125
838898266612431913934494612281680839451510251801970003747112
854686559426833884709580161002236799212759544558234036279376
165899787032210354745072515881402030323013433760459427976159
556762826500844470280228273129843812152729176433309890418569
471164241383506413485364102447833474212772543894267264111770
620245804745651329667905679445480577829872482260880978185677
207103523516521964833740266796718843962923664909885575352956
493234603396271119027245088798351999718888819444813985999969
857775433008969662157294034784009275572229736338436311670836
189329377787972701331201150971073687757717271118785614468561
081184317586574607987889006359239733545149540539707215679000
103718456158127516157251058602821059854856975899475336346597
543744878970426886114073901283877137625424630956514551537467
090436285292030528355997429665010262415616475304714209872844
576007924196509269343359767828522295042367768508768079679739
232894030481990107124987026446601829830392981749660091486623
248242204751130157168278376161987904558924993168410520716248
976483374014229453854043916528744213504431252799903745824685
407663655373561676095250545356896849501677042969266190668561
271258515574908884487890009440905910525662388688118859892824
882565959069014255590309041271116401064562269530224463298475
660550005839355340400679859454420378613623164409098998245805
573438725767776283292624003439594781581323682265376502089341
432816816038748509129061116948633174935982262598838377978577
304982386096637757041279424832418194622765101372382580585414
131215987906166937923922392861512097701783918903636423392387
928077826687025157288112458938451060133517105324667316974314
100993799321726490384416547730512278340941694529525472840777
846821692639168718125386351756619249892427013173141482736951
332391143257106951680553722109813610107695898449682554295917
742679775354992835965103205483566367110872455570459584618706
200015860054796142905107989505732144992360132401664112419000
541437110005439077485913445143599346212031474993097348402790
217730817646248354410677480155443256316702378280121795574079
647692243172266275968267190169030319800063737214968670641592
544185809975355721700352104513925910105846263808383898085989
940429440923747166252505516022693533647654178917496915130236
220867983123337780704270926111318054805515601921512076455570
775619881142359203211487675794937207312507355739668131518195
976777118542906450776030614498474439583895116090898988570793
707047727982900503364471253019719299356245619052008721797753
850516415269749088659979049081986588831923763834158712552284
111615506626257877036417360509274970055620577268320038320247
976030586495222149851793812005509158989255919913912572000181
579777091306596974985889851331546353914496639323861804184797
834785686833699056556370170029200090707817870471251941415947
614490121599027445850950536340338740004734207829957525830295
749851201287397895352729996015662325274185827828054926714281
467088136801315910495798495391429875998253183316168758015311
164438148054542774114886004397711944905494361273906969082578
683775782935055044494681582989580174087915403580799554309421
970975735679656092893889335343287086809100534116737244553150
511834191816563673626457236630351651647868560048506466822997
551823473138265301051460124403173828297322945978030329564989
072493237404940696014298086193605319335254622010157817413202
818528064126431026790794079053043711460078223735279053226944
200902611256739168713606276760789514815290884718829111378897
836807213478555633527889659608807042022042044481994481702730
043785920956255989384951783286108161821240975457701721973047
777520511654842830361569363343263076951034890433438004537606
611120231927322471778880510807593477547206942418659290591193
804035251596987749514592980578611016225045480059184003073404
006354234942038695108018635577448061005388938473633418678299
523166033909868618431250653183826369632615849952676673369178
804611913860025132790516480068724702216177341763210584920406
955670005408276131541806034455474963846127129501035223182352
544197137039930291969042190501066771386007201096135067338537
016988551439187673937607458196263212107354008563626986317640
106645769928485037084203617271531085549613339064764934788916
115225245379309377117226890063173064031540832468137789447285
526648636486160048949029530409052919324282587043693489413276
423419641413947735832770218336182738824859156269389699129072
778118973794428389931452873486667287281359313400075718468701
492237491403466992962357131910556224268808414307329254058849
976604104194200480437706804773179538669673655723077510463106
380945018843427220729570700609633793335049582838390518387296
061475281929849760797270868173098373669751187194094437491696
326096700332679454386399259317864947954096443289996493766120
095443922125034003140382739126685181886936977878833848866867
474415978584953403483800906160799426635989079096340161444252
854220250000563966129222875250435101765883454052784686607870
761729323890051005917667848782709376410782311272440247203482
369660988431468956670259414212178288689782769248947909037306
782908088760725154379392304782544241738037970414694435680851
143838944302753820163366685223525400385865503741431748096034
381434895931973991165042947852227524382910295892774427924305
602043692326100165573748439621953892650219912313266305236294
399587712721773499201118130396932529679779681442782999886025
414607422726002466031671441362959940547430972701868187141299
137009556823286243842394118414916422484972047844909049399532
492527365759197918079771459662593441881801670978802906151300
305968040233270398202323939675610352866834934219465098040887
040502817556500338457519672671773739583648548066787305895388
085880387193659206942972788381077536739421471215640373009860
648243836874882057550466997726315969733228664043796697903761
239623855603475982043994900164203291743829280403579501042307
234822283175307387682779129971936339165682490089064090504792
664752616151351930891062819549309937361333352774595324442159
567018960982552650905543797137134052075909594303299164655208
233277010654530411560033722592273034108520875055082326710421
191267619959881663980824379953197174310349758597500650141192
125627418073714439559698420061428031810355606687547351121216
051358987566167036819414871358814608738386518002305922175422
012819174676058740541276960499202234029517416602331658151373
361188871087606057836382579154269279034032600044387935976758
858389684425774103938086244592148291921751576487687791644613
515429384336540849236297565206873875065133231576431292938222
603826534712597672166570102264810864068626438875792837175443
362173285529026591885378380871731025525788171355421866634664
215557886812665181907065556510522192343639217029036016795725
914311618002401411320894357770023737932555340946598344086012
138745647200709424326372945143720024454620538970906678704108
226462829318531387138911202678480727746057921196168243149192
120940177663259854792301609046629849776978627143428136455121
617426651543860093909599344299441717303478786433868213897982
075030799916444141906155689982708500275433190027404938614734
807814742835567684769736795631942170877465602193093877380431
592298949546360081180378653005412999018584818894312146245912
889809073627656850752302964368398588834919961876081875361967
304151655347548984997015063628747464901596128850686098139479
287279557443569450717777767593588457094277340671993953431274
638272489694221717304557662889553584147189232815543253903176
046076577332152850260099414882662603647742772281003587919245
161187828855133646232109847616076497827131054511316082545972
620793705323968583154724694078357266969991189366282367041355
394300975207198966247376392751158984551862313211268642843137
953132851371958651200616734158670618257819289380762307554786
625616715548611818061862402114796231778224342446396848328766
357244425301302714990332672957892639327587764174885079235115
244142678242228181514753919303161231559312277612781985933683
482110955052247557447763398270866583303032535169272512683498
765161937881304357469205765417070805425609734941873198068693
219139566976377317071760885314503971332736971951443306461188
997614416358178975389280368148145180346419370799194672088760
624021668486621406064669725267002409241463627901692224776991
541607247947809501336757415578660860105724659580987037839225
422514467172394627986636261395122836345562982441064706313145
022637304993672154820491192915308129674938684627293350742860
081470287473824598756567203031932644860466861853267721245777
555876757019528870046101644007008129837717023278024131061687
847407428089231094143451032806212934875428407935117898637337
992473224502305222898826533213537417888551253943589473639744
579780181120454253593913598737255112624804931496320190744650
661455522531966227627997697377624407934168581553362924967144
043550832005845087310759960159991739782561295198798850098409
832321996411562162098957605378591947442165515433360345495960
438579747583375046072073765203527900958907502487606863660211
822921262323092999492890131055801476325922336302750833880585
527393532666921570093417716226894034560293639759782047512019
272573862853765953769581781252729926767444250050287278110624
579162161408082810339124566975496000699214925180308096459342
817967736778598022337156048976439661943113404659069809231980
493165915142891664938206495457377555956449837089296017416836
736892002227258094302672354103249713405759663180861600049983
806817668015169379096183813773271667757654903593092602789588
818102556669603684625518830519575297261722671394218707093345
708589528232759569420513694995319586909596601849508528727064
802678354842415940722993637066640430662318832183909176047301
706683654236002617366946253298184873865274079569861421203717
482536095364194683770573797729025128236145916868726880148707
984649276966927376609536486015117201448251035605660233049470
504667771260177582440296033819171961398905689104554981072628
314073690113247074761574857792938143144005107735150115816466
829178567208730732532785947005966228921175809;
NOTA:
Tanto David Broadhurst como Phil Carmody (los 2 coautores), UTILIZAN LINUX; son
defensores del Software Libre,y se oponen con gran determinación a la guerra del imperio anglo-americano (y sus perros falderos) contra Irak.
Semiprimos gigantes válidos para RSA?
Adjunto aquí el e-correo de Don Reble quien fué el primero en tener la idea de un N=p*q sin dar a conocer sus factores p y q,que a su vez la tuvo de Ed Pegg,que a su vez lo supo por X,que a su vez....
> Could your metod with elliptic curves which was retaken by David
> Broadhust to find large semiprimes quickly, be suitable for a very
> large RSA number?
You may be referring to these:
http://www.graysage.com/djr/isp.txt
http://physics.open.ac.uk/~dbroadhu/cert/semgpch.gp
These are attempts to find numbers which are provably semiprime, but
still unfactorable. My method isn't quick; and I wouldn't use such
semiprimes in an RSA key.
NOTA:
Por los datos del e-correo de Don Reble, veo que él también usa Linux.
Son ya muchas, las evidencias en contra de Micro$$$$$$$$$$oft y de la alimaña llamada Guillermo Puertas.
Es evidente....
NOTA:
Por los datos del e-correo de Don Reble, veo que él también usa Linux.
Evidentemente es necesaria la libertad para tener creatividad, en ello el software libre gana por la mano al software propietario/privativo.
Es complicado trabajar en la mejora y engradecimiento del conocimiento a golpe de talonario, como pretenden muchas multinacionales. Si quieres esto, compra librería, si quieres aquello, compra compilador, si quieres batir a la competencia compra esto que vale X y que solamente puedes pagar tu, logrando con ello ventaja competitiva sobre el que no lo puede pagar...
En mi linux encuentro todas las herramientas que necesito para mi trabajo y para mi ocio diario y reconozco que soy exigente en la cantidad y en la calidad.
La contrapartida es que se han dado cuenta de que el software libre es una buena solución y nos quieren meter patentes hasta en la sopa con dos finalidades básicas:
a) Perpetuar la creatividad a golpe de talonario.
b) Limitar la creatividad de los que pueden hacer sombra a las multinacionales y no están en su nómina.
Una pena y una lamentable decisión de nuestros políticos, en los que cada día que pasa, confío menos.
"Copyleft 2005 Fernando Acero Martín. Verbatim copying, translation and distribution of this entire article is permitted in any digital medium, provided this notice is preserved".